Mann-Kendall趋势检验法

Mann-Kendall趋势检验法是一种非参数统计检验方法，常用于分析时间序列数据的趋势，以下是其详细介绍：

该方法基于 Kendall秩相关系数的原理（Kendall秩相关系数，肯德尔秩相关系数），其核心是比较数据序列中不同观测值的大小顺序关系。对于一个时间序列 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ，计算所有可能的观测值对 $(x_i,x_j)$ （其中 $i < j$ ）的秩次差。如果数据存在上升趋势，那么较大的值倾向于出现在序列的后期，即 $x_j > x_i$ 的情况会相对较多；反之，若存在下降趋势， $x_j < x_i$ 的情况会更常见。
具体计算时，首先对时间序列中的每一对数据 $(x_i,x_j)$ （ $i < j$ ）进行比较，定义 $sgn(x_j - x_i)$ 函数，当 $x_j - x_i>0$ 时， $sgn(x_j - x_i)=1$ ；当 $x_j - x_i=0$ 时， $sgn(x_j - x_i)=0$ ；当 $x_j - x_i<0$ 时， $sgn(x_j - x_i)=-1$ 。然后计算统计量 $S=\sum_{i = 1}^{n - 1}\sum_{j = i + 1}^{n}sgn(x_j - x_i)$ 。在零假设（即数据不存在趋势）下， $S$ 的均值为 $0$ ，方差可根据样本量 $n$ 计算得到。通过标准化 $S$ 得到 $Z$ 统计量，用于判断是否拒绝零假设。

提出假设
- 原假设 $H_0$ ：时间序列数据不存在趋势。
- 备择假设 $H_1$ ：时间序列数据存在趋势（可以是上升趋势或下降趋势）。
计算统计量：按照上述原理计算 $S$ 、 $Z$ 统计量。
确定显著性水平：通常选择 $\alpha = 0.05$ 或 $\alpha = 0.01$ 等作为显著性水平。
进行决策：根据计算得到的 $Z$ 值与给定显著性水平下的临界值进行比较。若 $\vert Z\vert$ 大于临界值，则拒绝原假设，认为时间序列存在显著趋势；否则，不能拒绝原假设，即认为数据不存在明显趋势。

优点
- 不需要数据服从特定的分布，如正态分布等，对于各种类型的数据分布都具有较好的适应性。
- 对数据中的异常值不敏感，因为它主要基于数据的秩次信息，而不是具体的数值，所以能在一定程度上抵抗异常值的干扰。
缺点
- 检验的功效相对参数检验方法可能较低，即当数据确实存在趋势时，正确识别出趋势的能力可能不如一些基于特定分布假设的参数检验方法。
- 只能判断数据是否存在趋势，不能准确地拟合趋势线或给出趋势的具体数学表达式。