因果推断 | 双稳健，doubly robust

Doubly Robust（双重稳健）方法是因果推断中一种重要的估计方法，以下是关于它的详细介绍：

定义：Doubly Robust估计量结合了基于倾向得分的估计方法和基于结果回归的估计方法，通过将两者结合起来，在一定条件下即使其中一种方法的模型设定错误，仍然能够得到一致的估计，从而提高了估计的稳健性。
原理：假设我们有观测数据 $O=(X,Y,A)$ ，其中 $X$ 是协变量， $Y$ 是结果变量， $A$ 是处理变量。倾向得分 $e(X)=P(A = 1|X)$ ，表示在给定协变量 $X$ 的情况下，个体接受处理 $A = 1$ 的概率。基于倾向得分的逆概率加权（IPW）估计量为 $\hat{\theta}_{IPW}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{A_{i}Y_{i}}{e(X_{i})}-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{(1 - A_{i})Y_{i}}{1 - e(X_{i})}$ 。基于结果回归的估计量为 $\hat{\theta}_{OR}=\hat{\beta}_{1}-\hat{\beta}_{0}$ ，其中 $\hat{\beta}_{1}$ 和 $\hat{\beta}_{0}$ 分别是 $Y$ 对 $A = 1$ 和 $A = 0$ 时关于 $X$ 的回归系数估计。Doubly Robust估计量则将两者结合起来，一般形式为 $\hat{\theta}_{DR}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left[\frac{A_{i}Y_{i}}{e(X_{i})}-\frac{(1 - A_{i})Y_{i}}{1 - e(X_{i})}\right]+\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left[\hat{m}_{1}(X_{i})-\hat{m}_{0}(X_{i})\right]$ ，其中 $\hat{m}_{1}(X_{i})$ 和 $\hat{m}_{0}(X_{i})$ 分别是 $Y$ 在 $A = 1$ 和 $A = 0$ 时关于 $X$ 的回归模型的预测值。

稳健性强：当倾向得分模型或者结果回归模型其中一个正确时，Doubly Robust估计量就能够保证一致性，这大大降低了对模型设定的依赖，提高了估计结果的可靠性。
效率较高：在一些情况下，Doubly Robust估计量能够利用更多的信息，从而比单纯的IPW或结果回归估计量具有更高的估计效率，减少估计的方差。

医学研究：在临床试验或观察性研究中，用于估计治疗效果等因果效应。例如，研究某种药物对患者病情改善的影响，通过Doubly Robust方法可以更准确地估计药物的真实效果，控制可能存在的混杂因素。
经济学研究：在评估政策干预的效果时经常用到。比如，评估某项税收政策对企业投资行为的影响，Doubly Robust方法可以帮助研究者在存在多种混杂因素的情况下，更可靠地估计政策的因果效应。
社会科学研究：在研究教育政策对学生成绩的影响、就业培训对就业机会的影响等问题中，Doubly Robust方法可以有效地处理观测数据中的混杂问题，提供更准确的因果推断。

数据准备：收集包含处理变量、结果变量和协变量的数据，并进行清洗和预处理，确保数据的质量和完整性。
倾向得分模型估计：选择合适的模型（如逻辑回归等）来估计倾向得分 $e(X)$ ，并对模型进行拟合和验证。
结果回归模型估计：分别对处理组和对照组建立结果变量关于协变量的回归模型，估计 $\hat{m}_{1}(X)$ 和 $\hat{m}_{0}(X)$ 。
计算Doubly Robust估计量：根据上述公式计算Doubly Robust估计量，并进行统计推断，如计算置信区间、进行假设检验等。

Doubly Robust方法为因果推断提供了一种强大且灵活的工具，在众多领域都有广泛的应用和重要的价值，但在实际应用中也需要注意模型的选择、数据的特点等因素，以确保估计结果的有效性和可靠性。

因果推断之Doubly Robust Regression

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