Kalman滤波器（Kalman Filter）是一种高效的递归算法，用于从一系列包含噪声的测量中估计动态系统的状态。它由鲁道夫·卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出，最初用于航天领域，现在已广泛应用于控制、导航、信号处理、时间序列分析等多个领域。

基本原理

Kalman滤波器基于线性动态系统的状态空间模型，该模型由两部分组成：

  1. 状态方程：描述系统状态随时间的演变。

其中， 是时间 时刻的状态， 是状态转移矩阵， 是控制矩阵， 是控制输入， 是过程噪声。

  1. 观测方程：描述系统状态如何通过观测得到。

其中， 是观测值， 是观测矩阵， 是观测噪声。

工作流程

Kalman滤波器的工作流程分为两个阶段：预测（Prediction）和更新（Update）。

  1. 预测阶段：

    • 基于前一时刻的状态估计和控制输入，预测当前时刻的状态和误差协方差。

  2. 更新阶段：

    • 利用当前时刻的观测值，更新状态估计和误差协方差，以获得更准确的估计。

特点

  • 递归性：Kalman滤波器不需要存储历史数据，只依赖于前一时刻的状态和当前的观测。
  • 最优性：在一定假设（如高斯噪声）下，Kalman滤波器能够提供最小均方误差的估计。
  • 鲁棒性：能够有效处理观测和过程噪声。

应用

  • 导航系统：如GPS辅助的惯性导航系统（INS）。
  • 经济时间序列分析：如宏观经济变量的预测。
  • 控制系统：如自动驾驶汽车的传感器融合。
  • 信号处理：如雷达和声纳系统中的目标跟踪。

Kalman滤波器因其强大的数据处理能力和广泛的适用性，成为了现代信号处理和控制系统中不可或缺的工具。