NNLS-非负最小二乘法

非负最小二乘法（NNLS）是一种用于解决线性回归问题的方法，它特别适用于那些解向量必须非负的情况。这种方法在多个领域都有应用，包括光谱学、信号处理、图像处理、语音识别和基因分析等。

定义

NNLS的主要思想是在给定一个矩阵$A$和向量$b$的情况下，寻找一个非负向量$x$，使得$Ax$与$b$的差异最小化。数学上，这可以表示为求解以下优化问题：

$$\min_x \lVert Ax - b \rVert_2 \quad \text{subject to} \quad x \geq 0$$ 其中，$\lVert \cdot \rVert_2$表示欧几里得范数（即L2范数）。

应用

NNLS可以处理那些解向量代表非负量的情况，例如成分重量、成分成本等。在实际应用中，比如在细胞类型转移分析中，NNLS可以用来分析两个细胞图谱数据集中相关细胞类型的关系。

优点

• 非负约束：NNLS保证了结果向量$x$的非负性，这对于某些实际问题（如浓度、概率等）是必要的。
• 有效性：NNLS能够有效地解决线性回归问题，尤其是在需要非负解的情况下。
• 计算效率：NNLS可以处理大型问题，且不需要太多的计算资源。

缺点

• 过度拟合：NNLS模型可能会过度拟合训练数据，导致对新数据的预测表现不佳。
• 局部最优：作为一种局部最优方法，NNLS可能会陷入局部最优点而无法到达全局最优点。

Python中的实现

在Python中，可以使用scipy.optimize.nnls函数来实现NNLS。这个函数接受系数矩阵$A$和右侧向量$b$作为输入，并返回解决方案向量$x$和残差的2-范数$rnorm$。

总的来说，NNLS是一种简单而有效的非负矩阵分解方法，尽管存在一些局限性，但在许多实际问题中都有很好的表现。

参考

• NNLS(非负最小二乘)