Hessian 矩阵

Hessian 矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。

设函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$，则函数 $f$ 的 Hessian 矩阵 $H(f)$ 定义为：

$H(f)=$ $$\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$$

Hessian 矩阵在优化问题、物理学、工程学等领域有广泛应用。例如，在多元函数的极值判别中，Hessian 矩阵的正定性、负定性等性质可以用来判断函数的极值点类型。如果 Hessian 矩阵是正定的，那么函数在该点处取得极小值；如果 Hessian 矩阵是负定的，那么函数在该点处取得极大值。