Gamma函数及其函数变形

Gamma函数

函数公式如下：

$$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt$$

函数性质

• 递归性质

$$\Gamma(x) = x \Gamma(x)$$

• 阶乘性质

$$\Gamma(n) = (n - 1)!$$

Gamma函数变形

对Gamma函数进行一个简单变形如下：

$$\int_0^\infty \frac{x^{\alpha - 1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha)} dx = 1$$

取积分中的函数作为概率密度，得到一个形式最简单的Gamma分布密度函数：

$$\Gamma(x|\alpha) = \frac{x^{\alpha - 1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}$$

令

$$x=\beta t$$

则得到一个更一般的Gamma分布形式：

$$\Gamma(t|\alpha, \beta) = \frac{\beta^{\alpha} t^{\alpha-1} e^{-\beta t}}{\Gamma(\alpha)}$$

参数α称为形状参数（shape parameter），决定分布曲线的形状；β称为尺度参数（scale parameter），决定分布曲线有多陡。