向量内积（Inner Product）

Inner Product（内积），又称点积或数量积，是一种在向量空间中定义的运算。

给定两个向量$\vec{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$和$\vec{b} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$，它们的内积定义为：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

内积具有以下性质：

1. 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. 分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
3. 与标量乘法的结合律：$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$，其中$k$是一个标量

内积在许多领域都有重要的应用，例如：

1. 在几何学中，内积可以用于计算向量的长度、夹角等。
2. 在机器学习中，内积常用于计算特征之间的相似度。
3. 在物理学中，内积可以表示功、能量等物理量。

总之，内积是一种非常基本和重要的运算，它在数学和其他相关领域中都有着广泛的应用。