夏普里值（Shapley value）是合作博弈论中的一个概念，由Lloyd Shapley在1953年提出。它提供了一种公平地分配总收益的方法，这种分配方式基于每个参与者对整体联盟的边际贡献。夏普里值满足几个重要的公理：有效性、对称性以及加法性。

  • 有效性：意味着所有参与者的收益之和等于整个联盟的价值。
  • 对称性：如果两个参与者在任何联盟中都具有相同的边际贡献，那么他们应该获得相同的收益。
  • 加法性：当多个独立的合作博弈被合并时，每个参与者的总收益应该是他在各个独立博弈中收益的总和。

计算夏普里值的基本公式考虑了参与者加入不同顺序时所带来的边际贡献，并将这些边际贡献进行平均。具体来说，对于n个参与者的任意排列，当某个参与者i加入到已经形成的联盟S时，该参与者i为这个新联盟带来的边际贡献就是新联盟的价值减去原联盟S的价值。然后，将所有可能排列下i的边际贡献求平均，就得到了参与者i的夏普里值。

用数学语言描述，对于一个n人的游戏，玩家i的夏普里值可以表示为：

其中：

  • 是玩家i的夏普里值。
  • 是价值函数，定义了每个联盟的价值。
  • 是在排列中位于i之前的玩家集合。
  • 表示n个元素的所有排列数量。

夏普里值的应用非常广泛，不仅限于经济学领域，在成本分摊、利润分享、投票权分析等方面都有应用。例如，在一个公司内部，它可以用来评估团队成员对于项目成功所作出的相对贡献；或者在共享资源的情况下，根据每个人使用的比例来公平分摊费用。