泊松分布

泊松分布的概率质量函数推导

泊松分布的概率质量函数可以通过以下步骤推导出来：

假设在给定的时间间隔或空间区域内，事件发生的平均速率为$\lambda$，并且事件发生的次数服从泊松分布。

考虑一个小的时间间隔$dt$，在这个时间间隔内，事件发生的概率可以近似表示为$\lambda dt$。

现在考虑在一个较长的时间间隔$T$内，将其分成$n$个小的时间间隔，每个时间间隔的长度为$dt = \frac{T}{n}$。

在每个时间间隔内，事件发生的概率为$\lambda dt = \frac{\lambda T}{n}$。

事件在这段时间内发生$k$次的概率可以通过二项分布来近似计算。二项分布的概率质量函数为：

$$P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k}$$

其中，$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$是组合数，$p = \frac{\lambda T}{n}$是每个时间间隔内事件发生的概率。

将$p = \frac{\lambda T}{n}$代入上式，得到：

$$P(X = k) = C(n, k) \left(\frac{\lambda T}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda T}{n}\right)^{n - k}$$

当$n$趋近于无穷大时，可以使用极限的方法来推导泊松分布的概率质量函数。

首先，对组合数进行近似：

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \approx \frac{n^k}{k!}$$

然后，对$\left(1 - \frac{\lambda T}{n}\right)^{n - k}$使用指数函数的极限性质：

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{\lambda T}{n}\right)^{n - k} = e^{-\lambda T}$$

将这些近似代入上式，得到：

$$P(X = k) \approx \frac{n^k}{k!} \left(\frac{\lambda T}{n}\right)^k e^{-\lambda T} = \frac{(\lambda T)^k}{k!} e^{-\lambda T}$$

最后，将$dt = \frac{T}{n}$代入，得到泊松分布的概率质量函数：

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda T}(\lambda T)^k}{k!}$$

这就是泊松分布的概率质量函数的推导过程。需要注意的是，这个推导过程是一种近似的方法，在实际应用中，泊松分布的概率质量函数已经被广泛接受和使用。